Apparenti assurdità - Meccanica razionale

meccanica razionaleFigura a fianco: la punta di un accendino regge un listello di legno  sul quale è fissata una corda che a sua volta fa da fulcro ad un martello che con una delle 2 estremità insiste sul listello iniziale. Ed il tutto giace in perfetto equilibrio; che ci sia un accendino, un dito od il bordo di un tavolo, listello e martello continuano a stare in piedi; affascinante. Intuitivamente si è portati a dire che il martello, grazie al fulcro costituito dalla corda, esercita un momento in grado di bilanciare la forza peso del sistema (che tende a far ruotare il modello dalla parte opposta: il pavimento); ma dare una formalizzazione al tutto, rende a mio parere più interessante la questione. meccanica razionaleInoltre è un ottimo esercizio in vista dell'esame di meccanica razionale!

Quello che ho fatto è scrivere un sistema di equazioni che permetta di trovare le configurazioni di equilibrio e verificare la loro stabilità, in funzione dei parametri del  sistema (fondamentalmente masse e lunghezze). Le ipotesi fatte sono di vincoli lisci, fissi e non dissipativi. Comincio trovando un modello equivalente: il punto di appoggio di tutto il sistema è schematizzabile come una cerniera (visto che permette la sola rotazione), martello e listello sono aste (la testa del martello è assimilabile ad una massa aggiuntiva posta ad una delle estremità dell'asta), mentre anche il filo lo schematizzo come un'asta rigida (perché è sempre mantenuto in tensione dal martello, nella configurazione di confine) connessa a 2 cerniere (visto che è sempre perfettamente verticale mentre ruotano le altre parti); si ha quindi la seguente schematizzazione, nella quale sono già indicati i parametri:

meccanica razionaleI vettori posizione da prendere in considerazione sono:

\overrightarrow{ x_{A} } = a cos \theta\overrightarrow{ e_{1} }+ a sin \theta\overrightarrow{ e_{2} } = a\big(cos \theta\overrightarrow{ e_{1} }+ sin \theta\overrightarrow{ e_{2} }\big)

\overrightarrow{ x_{G1} }=\frac{L1}{2}cos\theta\overrightarrow{ e_{1} }+\frac{L1}{2} sin\theta\overrightarrow{ e_{2} }=\frac{L1}{2}\big(cos \theta\overrightarrow{ e_{1} }+sin \theta\overrightarrow{ e_{2} }\big)

\overrightarrow{ x_{G4} }=\overrightarrow{ x_{A} }-\frac{L3}{2}\overrightarrow{ e_{2} }=a cos\theta\overrightarrow{ e_{1} }+ \big(a sin\theta-\frac{L3}{2}\big)\overrightarrow{ e_{2} }

\overrightarrow{ x_{B} }=\overrightarrow{ x_{A} }-L3\overrightarrow{ e_{2} }=a cos\theta\overrightarrow{ e_{1} }+ \big(a sin\theta-L3\big)\overrightarrow{ e_{2} }

Per descrivere il triangolo ABC le relazioni sono:

sin\eta=\frac{L3}{b}cos\theta ; da teorema dei seni e angoli associati

\varphi=180-90-\theta-arcsin\eta=90-\theta-arcsin\eta ; somma angoli interni

Dalla prima di queste 2 relazioni discende la condizione -\frac{ \pi }{2}\leq\eta\leq\frac{ \pi }{2}, necessaria per l'invertibilità di arcsin.  Quindi si possono trovare i vettori posizione restanti:

\overrightarrow{ x_{G3} }=\overrightarrow{ x_{B} } - \big(L2-b\big)\big(sin\varphi\overrightarrow{ e_{1} }+cos\varphi\overrightarrow{ e_{2} } \big) =\\= \big(a cos\theta+\big(b-L2\big)sin\varphi\big) \overrightarrow{ e_{1} }+\big(a sin\theta-L3+\big(b-L2\big)cos\varphi\big)\overrightarrow{ e_{2} }

\overrightarrow{ x_{G2} }=\overrightarrow{ x_{B} } + \big(b-\frac{L2}{2}\big)\big(sin\varphi\overrightarrow{ e_{1} }+cos\varphi\overrightarrow{ e_{2} } \big) =\\= \big(a cos\theta+\big(b-\frac{L2}{2}\big)sin\varphi\big) \overrightarrow{ e_{1} }+\big(a sin\theta-L3+\big(b-\frac{L2}{2}\big)cos\varphi\big)\overrightarrow{ e_{2} }

I vincoli sono fissi, olonomi, bilateri, il modello è soggetto alla sola forza di gravità quindi le energie potenziali dei singoli componenti sono:

V_{G1} =- m_{1}\overrightarrow{g}\bullet\overrightarrow{ x_{G1} }=- m_{1}\big(-g\overrightarrow{ e_{2} }\big)\bullet\overrightarrow{ x_{G1} }= m_{1}g\frac{L1}{2}sin\theta

V_{G2} =- m_{2}\overrightarrow{g}\bullet\overrightarrow{ x_{G2} }=- m_{2}\big(-g\overrightarrow{ e_{2} }\big)\bullet\overrightarrow{ x_{G2} }= m_{2}g\big(a sin\theta-L3+\big(b-\frac{L2}{2}\big)cos\varphi\big)

V_{G3} =- M\overrightarrow{g}\bullet\overrightarrow{ x_{G3} }=- M\big(-g\overrightarrow{ e_{2} }\big)\bullet\overrightarrow{ x_{G3} }= Mg\big(a sin\theta-L3+\big(b-L2\big)cos\varphi\big)

V_{G4} =- m_{3}\overrightarrow{g}\bullet\overrightarrow{ x_{G4} }=- m_{3}\big(-g\overrightarrow{ e_{2} }\big)\bullet\overrightarrow{ x_{G4} }=m_{3}g\big(a sin\theta-\frac{L3}{2}\big)

L'energia potenziale complessiva è data dalla somma delle energie di ogni signolo componente:

V\big( \theta \big)=m_{1}g\frac{L1}{2}sin\theta+m_{2}g\big(a sin\theta-L3+\big(b-\frac{L2}{2}\big)cos\varphi\big)+Mg\big(a sin\theta-L3+\big(b-L2\big)cos\varphi\big)+m_{3}g\big(a sin\theta-\frac{L3}{2}\big)

la cui derivata, posta uguale a 0, permette di trovare le eventuali configurazioni di equilibrio:

f

f

f

f

f

riarrangiando:

g cos\theta\big(m_{1}\frac{L1}{2}+m_{2}a+m_{3}a+Ma\big)-g\big(m_{2}\big(b-\frac{L2}{2}\big)+M\big(b-L2\big)\big)\big(\frac{ \frac{L3}{b}sin\theta}{\sqrt{1-\frac{L3^{2}}{b^{2}}cos^{2}\theta}}-1\big)sin\big(-arcsin\big(\frac{L3}{b}cos\theta\big)-\theta+90\big)=0

i cui zeri sono le configurazioni di equilibrio del sistema. Per verificare la loro stabilità si calcola la derivata II^ dell'energia potenziale (thanks to WolframAlpha :D)

f

dove per comodità di visualizzazione si è posto:

B=\frac{L3}{b}

Se la derivata II^ calcolata nella configurazione di equilibrio è >0, allora l'equilibrio saràmeccanica razionale stabile, ed il sistema permarrà nella posizione assunta. Viceversa ruoterà fino a finire a terra... Per verificare la correttezza delle approssimazioni assunte e delle equazioni ricavate ho riassemblato un modello (nella foto) e regolato le distanze fino a farlo permanere in equilibrio. I dati da sostituire nell'equazione sono:

L_{1}=365mm \\L_{2}=501mm \\L_{3}=123mm\\a=112mm\\b=243mm\\m_{1} =31g\\m_{2} =59,9g\\m_{3} \simeq0g\\M=106.1g

L'eventuale presenza di zeri indicherebbe l'esistenza di punti di equilibrio. E come ci si aspettava VI SONO (ancora grazie Wolfram!), ma tocca scontrarsi con un'amara constatazione: vista la complessità dell'equazione, le soluzioni restituite sono simboliche ed è quindi impossibile anche stabilire il segno della derivata seconda, verificando la stabilità delle configurazioni...

"... eppur si muove ..."

In attesa di qualche strumento di calcolo più potente, per il momento mi accontento di osservare questa "solo apparente" stranezza.