Raggio critico e isolamento

Leggendo qualche dispensa di trasmissione del calore, questa mattina mi è caduto tubo isolantel'occhio su una grandezza alquanto curiosa: consideriamo, per fare un esempio, un tubo di rame (come quelli degli impianti di condizionamento), di diametro D e lunghezza L. Una necessità percepita da chiunque sarebbe di isolarlo per limitare gli scambi termici con l'ambiente ed aumentare l'efficienza. E qui nasce il problema: perchè per quanto possa sembrare assurdo, l'apposizione di uno strato isolante potrebbe addirittura aumentare lo scambio termico con l'ambiente: si trova che lo scambio termico diminuisce sicuramente solo se il raggio esterno della conduttura (valutato senza l'isolante) è maggiore del raggio critico, altrimenti ciò non è detto in linea generale. Si definisce quindi il raggio critico come il valore del raggio superato il quale la potenza termica scambiata da un corpo, con l'ambiente circostante, tende a diminuire. L'espressione che permette di calcolarlo (che lascio dimostrare agli appassionati) è:

R_{cr}= \frac{k}{h}

con k conducibilità dello strato isolante e h  coefficiente convettivo. Qualche prova: il tubo del mio condizionatore ha diametro 10mm ed è isolato con schiuma di k=0.036W/mK. Supponendo un coeffciente convettivo per l'aria naturale di 5W/m2K si ottiene un raggio critico di 7.2mm e quindi un diametro critico di 14.4mm, maggiore di quello del tubo. Dal canto suo il solo tubo di rame ha una resistenza termica lineare pari a:

R_{cu}= \frac{1}{h \pi D} = 6.37 \frac{K}{Wm}

Per trovare lo spessore minimo di strato isolante si dovrà eguagliare tale valore all'espressione della resistenza per una parete cilindrica multistrato:

R_{tot}= \frac{1}{h \pi D} + \frac{ln D_tot/D}{2 \pi k} = 6.37 \frac{K}{Wm}


che risolta iterativamente, restituisce come raggio critico 11.54mm, ossia un diametro di circa 23mm. Si dovrà quindi utilizzare uno spessore di isolante di almeno 6.5mm ((23-10)/2); 9mm è il diametro commerciale più vicino per eccesso, altrimenti si otterrà l'effetto opposto all'isolamento.

Supponiamo ora di avere un cavo elettrico da 2.5mmq (raggio di 0.89mm), isolato in PVC (spessore 0.8mm e k=0.13W/mK). In tal caso il raggio critico con h identico al caso precedente, è di 2.6cm: decisamente superiore al raggio dell'insieme di trefoli. Ergo lo strato di isolante favorisce la dispersione termica, alla faccia delle convinzioni di un sacco di studenti e periti!!