Realizzare un Geofono: Parte 1 - Un modello

geofonoIl geofono è uno strumento utilizzato per rilevare onde sismiche ma non solo; nel casi lo si utilizzi come sensore sismico, ha il pregio di essere decisamente più compatto di un sismografo a pendolo (ne avevo realizzato una qualche anno fa', ma l'avevo presto fatto sparire proprio per il suo ingombro). Mentre però la realizzazione home-made di un sismografo è piuttosto diffusa, molte meno informazioni si trovano sui geofoni, e solo qualche costruzione, tutte con altoparlanti di recupero, e non consideranti neppure la frequenza di lavoro del geofono. Ultimamente mi è venuta voglia di realizzarne qualcuno, ma volendo ottenere uno strumento magari non professionale, ma almeno oscillante alla frequenza da me voluta, ho seguito un approccio più scientifico che artigianale: ho cominciato ricavandone il modello descrittivo...

Modellizzazione di un geofono

In genere un geofono consta di una massa (un magnete) libera di oscillare, grazie a due molle, all'intero di una bobina. L'oscillazione produce una variazione del geofonoflusso magnetico concatenato con la bobina, che si traduce in un segnale elettrico da amplificare ed elaborare. Vi sono anche geofoni che seguono la costruzione inversa: constano cioè di una bobina libera di oscillare intorno ad un magnete fisso. In entrambi i casi il modello descrittivo prevede una massa sospesa mediante a due molle fisse a due estremità opposte della struttura. Il modello equivalente sarà quello nella figura accanto, che non prevede alcun altro elemento oltre ai 3 appena citati (ad esempio non vi sono sistemi di smorzamento delle oscillazioni). Il sistema ha 1 grado di libertà (la coordinata x lungo la retta passante per i punti O ed A) ed è stato introdotto anche l'angolo α per generalizzare il modello in funzione di diverse inclinazioni del geofono. Mentre infatti l'equilibrio del geofono disteso orizzontalmente, non è influenzato dalla sua massa, non è così se lo strumento è posto verticalmente. La sollecitazione sismica verrà considerata come una funzione sinusoidale di modulo F, pulsazione ω ed angolo di fase β.

Per semplificare lo studio vengono introdotte due terne cartesiane ortonormali, inclinate l'una rispetto all'altra proprio dell'angolo α. L'analisi del modello comincia con lo studio della cinematica e degli equilibri:

\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{e_t}=\cos \alpha \overrightarrow{e_x} + \sin \alpha \overrightarrow{e_y}\\\overrightarrow{e_r}= -\sin \alpha \overrightarrow{e_x} + \cos \alpha \overrightarrow{e_y}\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{e_x}=\cos \alpha \overrightarrow{e_t} - \sin \alpha \overrightarrow{e_r}\\\overrightarrow{e_y}= +\sin \alpha \overrightarrow{e_t} + \cos \alpha \overrightarrow{e_r}\end{matrix}\right.

\overrightarrow{x_A} = 2L \overrightarrow{e_t}

\overrightarrow{x_P} = \left( L+x \right) \overrightarrow{e_t}\; ; \; \overrightarrow{v_P}=\dot{x}\cos\alpha\overrightarrow{e_x}+\dot{x}\sin\alpha\overrightarrow{e_y}

V\left ( x \right )=\frac{1}{2} c\left | \overrightarrow{x_P} \right |^2 + \frac{1}{2} c\left | \overrightarrow{x_P} - \overrightarrow{x_A} \right |^2 - \overrightarrow{x_G}\cdot m \overrightarrow{x_G}-\overrightarrow{x_P}\cdot \overrightarrow{F}=\\=\frac{1}{2} c\left ( x+L \right )^2 + \frac{1}{2}c\left ( x-L \right )^2- \left ( L+x \right )\left ( \cos \alpha \overrightarrow{e_x} + \sin \alpha \overrightarrow{e_y} \right ) \cdot \left ( -mg \overrightarrow{e_y}\right )-\left ( L+x \right )\left ( \cos \alpha \overrightarrow{e_x} + \sin \alpha \overrightarrow{e_y} \right )\cdot \left ( F \cos\left ( \omega t+\beta \right ) \right )=\\=\frac{1}{2} cL^2+cLx+\frac{1}{2} cx^2+\frac{1}{2} cx^2-cLx+\frac{1}{2} cL^2+mgL\sin \alpha+mgx\sin \alpha-Fx \cos^2 \alpha cos \left ( \omega t +\beta \right ) -Fx \sin^2 \alpha cos \left ( \omega t +\beta \right )

ed eliminando subito i termini in L (che, essendo costante, non compariranno nella derivata rispetto alla coordinata libera) si ottiene:

V\left ( x \right )=cx^2+mgx\sin \alpha-F \cos \left ( \omega t +\beta \right )

derivando rispetto alla coordinata libera:

\frac{\delta V}{\delta x}=2cx+mg \sin \alpha-F\cos \left ( \omega t +\beta \right )=-Q_x

in cui si nota che il termine dovuto alla sollecitazione sismica rimane costante (in quanto dipendente dal tempo e non dalla coordinata libera). Annullando la derivata dell'energia potenziale, si ottiene l'espressione delle configurazioni di equilibrio:

x_e = \frac{F}{2c} \cos \left ( \omega t+ \beta \right ) - \frac{mg}{2c} \sin \alpha

da cui si deduce che in assenza di sollecitazione sismica la posizione del magnete dipende da massa, costante elastica ed inclinazione del geofono. Terminato lo studio della statica si passa a quello della dinamica; lo scopo è ricavare l'equazione di Lagrange (=equazione pura di moto) che governa il moto del magnete all'interno del solenoide. Essendo il sistema conservativo (è una macchina semplice!) l'equazione avrà la forma:

\frac{d}{dt}\left ( \frac{\delta }{\delta \dot{x}}K \right ) = Q_x

Si procede quindi al calcolo dei termini:

K=\frac{1}{2}m\left | v_P^2 \right |=\frac{1}{2}m\dot{x}^2

\frac{\delta }{\delta \dot{x}}K = m\dot{x}

\frac{d}{dt}\left ( \frac{\delta }{\delta \dot{x}}K \right ) = m\ddot{x}

\frac{d}{dx}K=0

E l'equazione di moto è:

m\ddot{x}+2cx=F\cos\left ( \omega t+\beta \right )-mg\sin\alpha

ossia una simpatica equazione differenziale del II° ordine, non omogenea e a coefficienti costanti. La soluzione sarà composizione di una generale ed una particolare; per la generale si risolve l'omogenea associata:

m\lambda ^2+2c=0

che ha radici complesse coniugate:

\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta = \pm \imath \sqrt{\frac{2c}{m}}

y_1(t)=e^{\lambda _1t}\: ; \:y_2(t)=e^{\lambda _2t}

y_G\left ( t \right )=c_1 \cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+c_2 \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

La soluzione particolare assumerà invece la forma:

y\left ( t \right )=\psi _1\left ( t \right )y_1\left ( t \right )+\psi _2\left ( t \right )y_2\left ( t \right )

\left\{\begin{matrix}{\psi}

e ponendo:

A=\sqrt{\frac{2c}{m}}

la prima si può riscrivere come:

{\psi}

mentre la seconda si ottiene calcolando le derivate di y'(t):

-{\psi}

esplicitando poi la prima in funzione della seconda, sostituendo e rielaborando, si ottengono:

{\psi}

{\psi}

che vanno integrate. Senza perdita di generalità si pone β=0, giungendo (con l'indispensabile aiuto di Wolfram  😈 ) alle due funzioni:

\psi _2 =-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \sin\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )}

\psi _1 =-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \cos\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )}

sommando quindi la soluzione dell'omogenea a quella  particolare, si ottiene:

y\left ( t \right )=c_1 \cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+c_2 \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right ) +\left (-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \cos\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left (-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \sin\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

raccogliendo:

y\left ( t \right )= \left (c_1-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \cos\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left (c_2-\frac{mg \sin \left ( \alpha \right ) \sin\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

Geofono orizzontale e verticale

Nel caso α = 0°, cioè quando il geofono è in posizione orizzontale, la precedente espressione si semplifica ulteriormente:

y\left ( t \right )= \left (c_1+ \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left (c_2+ \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

e ponendo la condizione iniziale y(0) = 0 (cioè posizione all'istante iniziale) esattamente centrale si ottiene

c_1=-\frac{F}{A^2-\omega ^2}

per ricavare c2  bisogna nuovamente derivare l'espressione con c1 appena trovata, ottenendo:

c_2=\frac{F\omega \left ( A^2+\omega ^2 \right )}{A\left ( A-w \right )^2\left ( A+w \right )^2}

in definitiva, l'equazioni di Lagrange del modello è:

y\left ( t \right )= \left (-\frac{F}{\left ( A+\omega \right )\left ( A-\omega \right )}+ \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left ( \frac{F\omega \left ( A^2+\omega ^2 \right )}{A\left ( A-w \right )^2\left ( A+w \right )^2}+\frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

Se invece il geofono è posto in posizione verticale, α = 90°, e l'equazione descrittiva assume la forma:

y\left ( t \right )= \left (c_1-\frac{mg \cos\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left (c_2-\frac{mg \sin\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

in questo caso si pone y(0) pari alla posizione di equilibrio trovata nella statica (in realtà senza accorgersene, si è fatta la stessa cosa nel caso orizzontale, quando si è posto y(0) = 0), ricavando:

c_1=\frac{F-mg}{2c}-\frac{mg}{A^2}+\frac{F}{\left ( A^2-\omega ^2 \right )}

c_2=0

y\left ( t \right )= \left (\frac{F-mg}{2c}-\frac{mg}{A^2}+\frac{F}{\left ( A^2-\omega ^2 \right )}-\frac{mg \cos\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \cos \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right )\cos\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )+\left (-\frac{mg \sin\left ( At \right )}{A^2} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A- \omega \right ) \right )}{2A\left ( A-\omega \right )} + \frac{F \sin \left ( t \left ( A+ \omega \right ) \right )}{2A\left ( A+ \omega \right )} \right ) \sin\left ( \sqrt{\frac{2c}{m}}t \right )

Un'osservazione interessante riguarda i termini A ed ω. Il primo è infatti la frequenza delle pulsazioni armoniche del massa sospesa, mentre il secondo è la frequenza dell'onda sismica: nel caso coincidano, i denominatori di alcuni dei termini in parentesi si annullano e la soluzione non è definita; è il caso della risonanza. Non avendo introdotto alcun elemento dissipativo/smorzante, l'ampiezza delle oscillazioni aumenta, potenzialmente tende all'infinito.

Qualche andamento

Modello alla mano, è possibile visualizzare l'andamento nel tempo, della posizione della massa, in funzione dei parametri di progetto. Per la simulazione si sono considerate una massa di 50 grammi, una pulsazione di risonanza del geofono di 25rad/s (quindi 2c = 31.25N/mm) ed una forza F = 1N. Sia nel caso di geofono orizzontale, che verticale, è stata effettuata un'osservazione con pulsazione della sollecitazione pari a 24rad/s (per osservare il comportamento in prossimità della risonanza) e 15 rad/s (per verificare che il geofono non oscilli eccessivamente lontano dalla frequenza di progetto).

Il seguente grafico riporta in rosso la pulsazione sollecitante (quella sismica per intenderci), in blu quella del geofono per ω = 24rad/s ed in verde per ω = 15rad/s. Si nota l'aderenza dei risultati alle aspettative: allontanandosi dalla frequenza di risonanza del geofono, l'oscillazione cala notevolmente.

andamento geofonoNel caso di geofono verticale, la situazione è diversa; premettendo che l'onda sismica è stata scalata di 4 volte (per evidenziare meglio il movimento della massa), si nota come anche in prossimità della risonanza il valore massimo dell'oscillazione sia decisamente inferiore a quello del caso orizzontale. Il modello matematico suggerisce che ciò sia dovuto ai termini costanti presenti nell'equazione, funzione di massa e costante elastica delle molle. Solo un'attenta scelta di questi parametri porterà il geofono ad avere un'oscillazione non trascurabile in prossimità della risonanza.

andamento geofonoConcludendo, pur nella sua semplicità, il modello sembra ricalcare le aspettative in termini di risposta alla sollecitazione; l'introduzione di un termine di smorzamento (ad esempio dissipativo) permetterebbe di verificarne la risposta anche alla frequenza di risonanza (ora esclusa dal dominio in quanto porterebbe all'annullarsi di alcuni denominatori nelle equazioni descrittive); tuttavia tale informazione non è strettamente necessaria. Fondamentale sarà un'accurata scelta dei parametri costruttivi, in particolare per ottenere un'adeguata risposta nel caso di geofono posto in verticale.

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