Reti elettriche - modelli e parametri di servizio

rinnovabili e reti elettricheLa prima grande distinzione possibile, parlando di reti elettriche, è tra linee aeree (in cui i conduttori sono posati in aria e sorretti da appositi sostegni come pali e tralicci) e linee in cavo (in cui i conduttori sono isolati e e la posa è interrata o entro canale e tubazioni). Ulteriori distinzioni si hanno poi in base al range delle tensioni (quindi linee AT: Alta Tensione, MT: Media Tensione, e BT: Bassa Tensione) o tra linee in Corrente Alternata (CA o AC Alternate Current) piuttosto che in Corrente Continua (CC o DC Direct Current).

In ogni linea è comunque sempre possibile distinguere:
1) Conduttori di energia, in metalli ad alta conducibilità, isolati fra loro e verso terra (per evitare la presenza di tensioni impresse)
2) Altri conduttori metallici, posti a terra in almeno un punto  (quasi sempre ad intervalli regolari) e con funzioni protettive. Per una linea aerea sono ad esempio le funi di guardia (conduttori contro le scariche atmosferiche posti a terra presso ogni sostegno), mentre nelle linee in cavo si hanno: guaine metalliche tubolari, schermi equipotenziali, armature (nastri e piattine)
3) Un ulteriore conduttore, non metallico, la terra (intesa proprio come terreno) che interagisce con la linea.

In tutte le reti elettriche si manifestano effetti parassiti che comportano delle perdite (dissipazioni di energia e cadute di tensione). Essendo sottoposte ad un certa tensione (in regime alternato e di frequenza 50Hz, in Italia)  e percorse da una determinata corrente, le linee divengono sede di campi elettrici e magnetici. In particolare la presenza di questi ultimi fa sì che ogni elemento di conduttore sia sede di f.e.m. auto e mutuamente indotte. Si hanno poi le cadute di tensione dovute alle resistenze ohmiche dei conduttori, da cui derivano perdite per effetto Joule (in parole povere una linea perde parte dell'energia trasmessa sotto forma di calore).  Per rendere conto di queste prime due perdite si introducono, nella modellazione di una generica linea elettrica, due coefficienti detti costanti primarie longitudinali: r (espresso in Ω/km e rappresentante delle perdite di carattere ohmico) e l (H/km e rappresentante delle perdite causate dal campo magnetico). Analogamente vi sono dei fenomeni, detti trasversali, dovuti ai dielettrici posti fra i conduttori (quindi presenti anche su una linea a vuoto, ossia in cui l'intensità della corrente passante è nulla); infatti i dielettrici mantenuti ad una certa differenza di potenziale, saranno sottoposti a perdite per effetto corona e per isteresi dielettrica. Anche in questo caso è possibile quantificare tali fenomeni introducendo nel modello della rete le cosiddette “costanti primarie trasversali”: g (espressa in S/km che rende conto delle perdite per effetto corona) e c (in F/km, tiene conto degli effetti capacitivi fra conduttore e conduttori e fra conduttore e terra).

Dopo queste premesse si può cominciare con il calcolo delle costanti primarie; generalmente parlando di linee dmodello base di reti elettrichei trasmissione si sottintendono linee trifase. Essendo sempre possibile per simmetria ricondursi da uno schema trifase ad uno del tipo fase neutro, si considererà per semplificare i calcoli, tale schematizzazione. Quindi in assenza di generatori (linea passiva) si mostrerà che il modello trifase è analogo ad un doppio bipolo descritto dai 4 parametri scalari r, l, g, c (come in figura). In particolare r e g, essendo legati alla fisica del conduttore, saranno “parametri fisici” mentre l e c, legati al sistema di alimentazione, saranno i “parametri di servizio”. Inoltre da ora in poi si adottano le seguenti semplificazioni:
1) Conduttori cilindrici rettilinei, di lunghezza indefinita (anche se poi si considereranno tratti di 1km) e paralleli al terreno (si trascurano quindi le catenarie). I conduttori possono essere anche disposti a fascio
2) Ai fini del calcolo della capacità si suppone che la carica stazionaria sia uniformemente distribuita sui conduttori
3) Funi di guardia poste a terra ed a potenziale nullo in tutte le sezioni
4) Terreno omogeneo di resistività costante, μr=1 e εr=1

r [Ω/km]
Esprime la resistenza dei conduttori. Questi generalmente sono in rame , alluminio o loro leghe (come l'Aldrey, composta dal 99% Al, 0,5% Mg e 0,5% Si). Nelle linee in AT i conduttori sono bimetallici cordati, composti da Al per la garantire adeguate proprietà elettriche e Fe per conferire determinate proprietà meccaniche. Le  resistività di alcuni materiali tipici sono:
Cu : 17,8 [Ωmm2/Km] (per il ricotto) con α=0,0038
Al : 28.3 [Ωmm2/Km] con α=0,0040
Aldrey : 32,5 [Ωmm2/Km] con α=0,0036

e le due relazioni fondamentali per il calcolo della resistenza di una linea:
R=ρ(l/S)
RΘ=R20(1+ αΔΘ) ; resistività a temperatura diversa da 20°C

Da ricordare inoltre che l'effetto pelle (che si presente in regime alternato) riduce virtualmente la sezione del conduttore (perché le cariche tendono a distribuirsi esternamente al conduttore; per limitarlo si ricorre al filo di Litz, a conduttori cavi o ad un rivestimento in Ag). Inoltre a causa della variazione del flusso magnetico che attraversa il conduttore si ha la presenza, nel cavo cordato con anima in Fe, di correnti parassite.

g [S/km]
Rende conto delle perdite di energia dovute a imperfezioni degli isolanti, correnti superficiali di fuga verso terra (associate per le linee aeree agli isolatori sporchi, umidi o deteriorati che divengono parzialmente conduttivi) ed effetto corona. Le perdite permettono di calcolare g come:
g=p/(3E2)=p/V2 S/km ; ove p è il termine che esprime le perdite

In generale le perdite di conduzione negli isolatori sono trascurabili, quelle per correnti superficiali di fuga invece si aggirano sui 0,1kW/km (e sono dovute a conduzione di tipo elettrolitico). Si hanno poi le perdite per effetto corona, provocato dalle tensioni elevate a cui sono sottoposti i conduttori:   se queste superano un determinato valore l'intensità del campo elettrico sulla superficie del conduttore diventa maggiore della rigidità dielettrica dell'aria: la conseguenza è la ionizzazione  dell'atmosfera circostante il conduttore (corona) che porta a scariche parziali, emissioni di luce e crepitii (dovuti alle onde di pressione generate dal riscaldamento dovuto alla ionizzazione, e dalle successive scariche nella corona). In generale le perdite hanno oscillano in un range di 0,1kW/km : 10kW/km , in particolare in base alle tensioni di linea si hanno:
95kV : 0W/km
100kV :100W/km
150kV : 500W/km
200kV : 8000W/km
In condizioni eccezionali (conduttori ghiacciati o innevati) le perdite possono raggiungere anche il centinaio di kW/km, limitando la potenza fornibile alle utenze.

l [H/km] → x [Ω/km]
Introducono nel modello della rete gli effetti dovuti al fatto che ogni conduttore è sede di f.e.m. auto e mutuamente indotte. Si consideri la linea trifase in figura (disposizione a trifoglio) composta dai tre conduttori a, b e c attraversati rispettivamente dalle correnti  Ia , Ib , Ic :

In generale le f.e.m. indotte su un tratto di 1km di linea reti elettriche a trifoglio
valgono, per ognuna delle 3 fasi a, b, c:
Ea=jwmaaIa +jwmabIb +jwmacIc
Eb=jwmbaIa +jwmbbIb +jwmbcIc
Ec=jwmcaIa +jwmcbIb +jwmccIc
dove maa, mbb e mcc sono i coefficienti di autoinduzione (induttanze proprie), mentre gli altri coefficienti mxy sono le mutue induttanze. Nel caso di linea simmetrica (geometricamente) si può porre:
maa=mbb=mcc := l'
mab=mac=mbc=mba=mca=mcb := m

Inoltre per il primo principio di Kirchhoff si ha Ia+Ib+Ic=0 da cui si ricava Ia=-(Ib+Ic) che permette di riscrivere l'espressione di Ea:
Ea=jw(l'-m)Ia  ; ponendo (l'-m)=l
Ea=jwlIa= jxIa

e così per la altre fasi. l, che prende il nome di induttanza di servizio, ed x (reattanza di servizio) tengono conto della disposizione spaziale dei conduttori e della presenza per ogni conduttore delle rimanenti due fasi. schematizzazione bifilareSi procede quindi con il calcolo del coefficiente di autoinduzione di un tratto di conduttore di 1m. Per trovare il valore si considera al posto del singolo cavo, una spira percorsa dalla corrente I1: questo perché è possibile pensare il conduttore come uno spezzone di una linea bifilare percorsa da I1  appunto (in pratica una linea monofase).

Si ragiona quindi sul conduttore 1:

formula1

Ed essendo L per definizione, il rapporto fra flusso concatenato con il conduttore e corrente passante in esso, si perviene all'espressione:

formula2

Resta quindi da tener conto del contributo al coefficiente dovuto al flusso interno al conduttore (di raggio r). Per questo valgono le seguenti espressioni:
tubo di flusso
Si considera quindi un tubo di flusso di volume infinitesimo ricavato all'interno di una sezione di conduttore lunga 1m, di cui si andrà a scrivere l'espressione della densità di energia magnetica.

Le espressioni per il "tubo" considerato sono:

formula4

nell'ultima delle quali si può sostituire l'espressione del campo nel conduttore al variare di z:

formula5

che si integra ottenendo l'energia del campo magnetico nel conduttore (si osservi che non dipende dal diametro del conduttore stesso):

formula6

e tenendo conto dell'espressione della densità di energia:

formula7

Quindi si riscrive l'induttanza della linea bifilare con il log in base 10 e si divide per 1000 per ottenere le unità in km:

formula8

A tale espressione si perviene considerando anche una linea trifase con conduttori disposti a trifoglio. Per questa si avrà, come già visto (e considerando solo la fase a):

formula9

ed il diagramma vettoriale delle grandezze in gioco sarà:

grafico vettoriale
Nel caso non via sia simmetria spaziale (come nella figura a sinistra)  la situazione cambia drasticamente e tconduttori non simmetriciale discorso cade; si supponga ad esempio di avere una linea trifase in piano, come nella figura a lato e nelle cui fasi scorrano 3 correnti di uguale modulo. Allora i flussi generati dalle correnti nei 3 conduttori si possono calcolare con le 3 espressioni:
formula10

In tal caso si ha il seguente diagramma vettoriale:

grafico vettoriale

In cui risulta evidente che la somma vettoriale delle f.e.m. di auto e mutua induzione non è in quadratura con la corrente che percorre il conduttore. Ciò si verifica perché non essendo simmetrica la disposizione dei 3 conduttori si ha che i coefficienti di mutua induzione non sono uguali:

formula11

E' quindi possibile scomporre  i vettori rappresentanti le f.e.m. In una componente in quadratura con la corrente ed una in fase. La componente in quadratura rientra nel computo dell'induttanza di servizio, mentre quella in fase con la corrente equivale ad una caduta di tensione su una resistenza (in pratica le induttanza sono caratterizzate, apparentemente, anche da una parte resistiva); in ogni linea la somma algebrica di queste cadute ohmiche è nulla (e non potrebbe essere altrimenti visto che i fenomeni in gioco non sono dissipativi). Quello che accade in realtà è il trasferimento di potenza da una fase ad un'altra per accoppiamento elettromagnetico. Tale fenomeno prende il nome di induttanza obliqua. Si noti che solo il flusso Ф2 è in fase con la rispettiva corrente perché i coefficienti di mutua induzione rispetto alla fase centrale coincidono: m12 =m23 . Per ovviare   a tale problema (oltre che per uniformare i coefficienti di autoinduzione l delle tre fasi) si ricorre alla tecnica della trasposizione:

traspozione conduttori nelle reti elettriche

In pratica non si fa altro che mutare, a 1/3 e 2/3 della linea, la posizione delle 3 fasi mediante speciali sostegni. Così facendo tutte e le fasi assumono tutte e 3 le possibili posizioni sui sostegni annullando di fatto il problema dei diversi coefficienti di mutua induzione. Per finire, alcuni valori plausibili per le linee aeree in AT sono l=0,75:1,4mH/km e conseguentemente x=0,23:0,45Ω/km. Da ricordare che anche le funi di guardia influenzano il sistema di conduttori con f.e.m. indotte e correnti parassite, ma reattanze di servizio  resistenze tengono già conto di questi fenomeni.

c [F/km]
Rende conto delle perdite dovute alle correnti capacitive tra i vari conduttori e tra i conduttori e la terra. E' definita come:

formula12

dove al numeratore vi è la corrente capacitiva derivata dal conduttore “a” per effetto della capacità verso terra e gli altri conduttori, e al denominatore compare la tensione di fase. effetti capacitiviPer un generico sistema trifase la situazione è schematizzata nella figura a fianco, dove a b e c sono le tre fasi; le capacità Cxy con x, y = a,b,c rendono conto delle interazioni tra i diversi conduttori mentre le Cxe tra il singolo conduttore e la terra. La fase "a" vede 3 condensatori e la corrente dispersa da tale conduttore ha espressione:

formula13

Supponendo di avere una linea trifase con i conduttori disposti a trifoglio si avranno:

formula14

e si osserva che se il sistema è simmetrico si ha (con le convenzioni prima fissate):

formula15

Lo schema equivalente per valutare la capacità di servizio di una rete con conduttori a trifoglio è il seguente:

trasformazione stella triangolo

Supponendo O=O' si avrà che, per ogni fase, la capacità sarà pari a quella appena calcolata. Si procede con il calcolo della capacità di servizio per una linea bifilare conduttori bifilari(escludendo inizialmente l'influenza della terra di cui si terrà conto alla fine). La situazione è schematizzata nella figura a lato ed il procedimento consiste nel calcolare il potenziale del campo elettrico tra i due conduttori, grazie al quale si ricaverà la capacità secondo la nota relazione C=q/v; si parte dalle espressioni del campo generato dal conduttore 1 in un punto x1 e del campo generato dal conduttore 2 in un punto x2. Essendo la linea bifilare (andata e ritorno) la carica nei due conduttori per unità di lunghezza sarà identica, allora:

formula16

e si può considerare il potenziale:

formula17

e capovolgendo:

formula18

Per una linea in aria la costante dielettrica relativa è pari ad 1 quindi l'espressione diventa (passando al logaritmo in base 10):

formula19

Per il calcolo della capacità verso terra invece, ci si riferisce al seguente schema:caduta di tensione su capacità

Ove  le capacità verso il terreno sono alimentate ciascuna da metà della tensione tra le due fasi e quindi si ha:

forumla20

che corrisponde anche alla capacità di servizio di una linea trifase con conduttori disposti a trifoglio. Come per l'induttanza di servizio anche in in questo caso si presenta il fenomeno dell'obliquità, che si verifica in caso di dissimmetrie. In tal caso però, si osserva la presenza di capacità oblique sempre, anche nel caso di linea trifase con conduttori a trifoglio (caso in cui non vi era la presenza di induttanze oblique); ciò è dovuto al fatto che il sistema è comunque non simmetrico rispetto al conduttore costituito dal terreno ed alle eventuali funi di guardia. Nel caso di linea trifase con conduttori in piano e tensione di esercizio 380kV, la differenza tra le fase esterne e la centrale si aggira attorno al 7%. Si ovvia parzialmente a tale problema, anche in questo caso, con la trasposizione dei conduttori, oppure con la ciclica rotazione delle fasi di linee omogenee nelle stazioni (il costo di tale operazione è pressoché nullo). La presenza delle funi di guardia comunque, non ha un'influenza eccessiva sulla capacità di servizio e sui fenomeni di obliquità in quanto, se da un lato comporta l'aumento delle capacità verso terra (in quanto si instaurano correnti di dispersione anche verso le funi di guardia che sono connesse a terra), dall'altro porta una parziale riduzione delle capacità reciproche tra conduttori. Quindi si ha una forma di compensazione dei fenomeni.
In ogni caso le capacità di servizio sono trascurate per reti elettriche di lunghezza inferiore ai 50km, in quanto ritenute di valore ininfluente.